Matemáticas

jueves, 16 de febrero de 2017

Las Probalidades

Que son las probabilidades

Es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%).

Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno).

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

HISTORIA:

La definición de probabilidad se produjo debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro, es por eso que a través de la historia se han desarrollado diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores.

El diccionario de la Real Academia Española (R.A.E) define «azar» como una casualidad, un caso fortuito, y afirma que la expresión «al azar» significa «sin orden». La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simon Laplace afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano". Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.

Según Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."

Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto, seguido por la Kybeia de Juan Caramuel (1670). Varios de los citados autores -Fermat, Pascal y Caramuel- mencionan en sus respectivas correspondencias un Ars Commutationes de Sebastián de Rocafull (1649), hoy perdido. El fundamental Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.

La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.

Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva $y=\phi (x)$ , siendo $x$ cualquier error e y $y$ su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

es simétrica al eje $y$ ;
el eje $x$ es una asíntota, siendo la probabilidad del error $\infty$ igual a 0;
la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,

\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}

siendo $c$ y $h$ constantes que dependen de la precisión de la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para $r$ , el error probable de una única observación, es bien conocida.

En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.

En 1930 Andréi Kolmogorov desarrolló la base axiomática de la probabilidad utilizando teoría de la medida.

En la parte geométrica (véase geometría integral) los colaboradores de The Educational Times fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson y Artemas Martin).

Problemas:

Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio

Solución.

El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como: E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

2. Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?

Solución

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V) (F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V) (F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F) (F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay una respuesta falso, lo llamaremos A y será:

A = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}

c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}

d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente los siguientes resultados: A È B = B A Ç B = A B- A = {(V, V, V, V)}

Suma y Resta De Vectores.

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

El vector es una noción que tiene varios usos. Puede tratarse del agente que se encarga de trasladar una cosa de un sitio a otro; de una proyección con intensidad y características que varían; de una magnitud que dispone de un punto de aplicación, un sentido y una dirección; o del organismo capaz de transmitir ciertas enfermedades.

Es decir, un vector se trata de una herramienta que da la oportunidad de acometer la representación de magnitudes vectoriales, de las que no sólo necesitan de un sentido sino también de una dirección y también de una cantidad concreta.

La noción de resta de vectores se emplea en las matemáticas. En este caso, el vector es una magnitud que se grafica como un segmento que tiene su origen en un punto A y se orienta hacia su extremo (el punto B). El vector, por lo tanto, es un segmento AB.

Suma de dos vectores libres u

y v

. La suma de estos dos vectores libres es otro vector libre u

, que se obtiene de la siguiente forma:

Se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector. El vector suma tendrá como origen el origen de u

y como extremo el extremo de v

Otra manera de sumar dos vectores libres es mediante la regla del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide

con la suma de los vectores.

módulo de un vector:

Se llama módulo de un vector a la norma matemática del vector de un espacio euclídeo ya sea este el plano euclídeo o el espacio tridimensional. El Módulo de un vector es un número que coincide con la "longitud" del vector en la representación gráfica.

direccion de un vector:

Un vector director es un vector que da la dirección de una recta y también la orienta, es decir, le da un sentido determinado.

En el plano, en el espacio tridimensional o en cualquier espacio vectorial, una recta se puede definir con dos puntos o, de manera equivalente, con un punto y un vector director. En efecto, a partir de dos puntos distintos A y B se obtiene un punto, digamos A, y un vector director u = AB. Recíprocamente, con un punto A de la recta y un vector director u se construye un segundo punto de la misma, definido por AB = u. Esta recta se escribe (AB) o (A, u).

sentido de un vector:

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

como se determina la dirección de un vector:

Calcula la inclinación del vector u = (4,3)

Los puntos A(1,2) y B(2,4) del plano determinan el vector AB. Calcula su inclinación.

Calcula la inclinación de los siguientes vectores:

Calcula las coordenadas de un vector sabiendo que el módulo y la inclinación

Metodos Algebraicos

Que son los métodos Algebraicos

MÉTODOS ALGEBRAICOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES:

En esta sección te mostrare varios métodos de resoluciones de sistemas, espero que los entiendas y que te sirva.

¿Qué son los métodos algebraicos de resolución de ecuaciones?

Son métodos que usamos para resolver sistemas de ecuaciones con dos o más variables, de una manera muy sencilla. Como su nombre lo indica, el método usa como su principal herramienta, el álgebra, que

ligada a un proceso de lógica matemática dio como resultado el método algebraico.

Usando métodos algebraicos como los métodos de resolución de problemas (sustitución, igualación y reducción) y sistemas de ecuaciones lineales 2*2 podemos solucionar los problemas.

Métodos de resolución de problemas:

A continuación vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

1. Sustitución:

En este método lo primero que debemos hacer es despejar una incógnita y sustituirla en la otra ecuación. Así, la ecuación reemplazada, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, permitiéndonos averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene reemplazando el valor obtenido.

A hora te voy a mostrar un vídeo en el cual nos van a explicar la forma en la cual se solucionan ecuaciones con el método de sustitución.

A continuación te voy a mostrar una gráfica y una tabla de valores, en las cuales mostramos los resultados hallados en el método de sustitución:

Ecuaciones : 1.) -3x+y-18=0

2.) 2y+3x-24=0

El punto A nos muestra los valores encontrados usando el método de sustitución.

2. Igualación : Este método consiste en una pequeña variante del método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones usando este método debemos despejar una incógnita o letra, la misma, en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes, obteniendo una ecuación de primer grado. Para resolver un sistema por el método de igualación debemos :

Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.
Igualamos las expresiones ,obteniendo la 3 ecuación que tiene solo una incógnita.
Resolvemos las operaciones.
Sustituimos el valor hallado, en cualquiera de las dos (2) expresiones en las que estaría despejada la otra incógnita.
Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda.

Si ves, resolver un sistema de ecuaciones usando este método es muy sencillo. Si no has entendido, a continuación te mostrare un vídeo en el que podemos observar el proceso de solución de ecuaciones por el método de igualación:

Ahora te mostrare unas tablas de valores de un sistema y una gráfica que fueron halladas mediante el método de igualación.

Ecuaciones : 1.)7x-2y+10=0
2.) 3y-2x+12=0

Tabla de valores de la recta a

El punto de intersección entre las rectas es A:(-3.18 , -6.12)

3. Reducción: El último método analítico que vamos a aprender en esta sección para resolver sistemas de dos funciones con dos incógnitas o letras. En este método preparamos las ecuaciones multiplicando una o ambas ecuaciones por cualquier numero para obtener un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de las variables (x,y) sean iguales pero con signo contrario. Después sumamos las ecuaciones del sistema y obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita. Después , tienes dos opciones para hallar la segunda incógnita : la primera es volver a aplicar el mismo método aplicar el mismo método , o sino sustituir la incógnita hallada en cualquier ecuación del sistema y despejar la otra.

Ahora te mostrare un vídeo en el que nos explican el método de sustitución ( con sus fases).

Ahora te mostrare una gráfica y una tabla de valores en las que aparece el punto de intersección entre dos rectas (a,b).

Casos de Factoreo

Los 10 Casos de Factoreo:

FACTORIZACIÓN

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:
a(a + b) = a² + ab
(x + 2) (x +3) = x² + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m² - mn - n²

Fórmulas de los casos de Factorizacion

CASOS DE FACTORIZACIÓN

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y² - 28x³ + 56x⁴

R: 14x² (y² - 2x + 4x²)

Ejemplo 2:

X³+ x⁵ – x⁷ = R: x³ (1 + x² - x⁴)

Ejemplo 3:

100a²b³c –150ab²c² + 50 ab³c³ - 200abc²=

R: 50abc (2ab² – 3bc +b²c² – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a ² + 1) – a² – 1

R: ( a + b -1) (a ² + 1) –( a² + 1)

( a² + 1)(a + b - 1)-1

( a² + 1)(a + b -1 -1)

( a² + 1)(a + b -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TÉRMINO

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am³ – 12 amn – m² + 3n

= (4am³ – 12amn) – (m² + 3n)

=4am (m² – 3n) – (m² + 3n)

R: (m² – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x

= (a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x)

= (a²b³ + a²b³x² – 3a²b³x) – (n4 + n⁴x²- 3n⁴x)

= a²b³ (1 + x² – 3x)- n⁴ (1 + x² -3x)

R: (1 + x² – 3x) (a²b³ - n⁴ )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de b²= b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b)²

Ejemplo 2:

49m ⁶– 70 am³n² + 25 a²n⁴

Raíz cuadrada de 49m⁶ = 7m³

Raíz cuadrada de 25a²n⁴= 5an²

Doble producto sus raíces

(2 X 7m³ X 5a²n²) = 70am³ n² (cumple)

R: (7m – 5an²)

Ejemplo 3:

9b² – 30 ab + 25a²

Raíz cuadrada de 9b² = 3b

Raíz cuadrada de 25 a²= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) ²

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a² + 2a (a – b) + (a – b)²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de (a – b)²= (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b))²

(a + a – b) = (2a –b)²

Ejemplo 2:

(x + y)² – 2(x+ y)(a + x) + (a + x)²

Raíz cuadrada de (x + y)² =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x)²= (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x))²

(x + y – a – x)² = (y – a) ²

CASO IV