Operaciones Combinadas

Que son las Operaciones Combinadas 

Llamaremos operaciones combinadas a aquellas en las cuales aparezcan varias operaciones aritméticas para resolver. Para obtener un resultado que sea el correcto es necesario seguir algunas reglas y tener en cuenta la prioridad entre las operaciones. En primer lugar se deberán separar los términos presentes para luego poder resolver cada uno de estos. Luego procederemos a resolver las operaciones que se encuentres entre paréntesis, corchetes y llaves, debemos tener en cuenta que si un paréntesis va precedido del signo + se va a suprimir y mantendrán su signo los términos que contenga, en cambio si el paréntesis va precedido del signo -, cuando se suprima el paréntesis debemos cambiar el signo a todos los términos que contenga. Para la realización de operaciones combinadas e debe seguir un orden específico. En primer lugar potenciación y radicación, en segundo lugar multiplicación y división de fracciones en el orden en el cual aparecen. En tercer lugar sumas y restas, resolviendo las sumas y las restas que separan los términos en el orden en el cual aparecen.

Es una expresión formada por números en operaciones diversas y agrupados de formas diversas mediante paréntesis, corchetes y llaves. Para resolver operaciones combinadas debemos dominar todo lo estudiado anteriormente.

- La misión de los paréntesis es la de unir o "empaquetar" aquello a lo que afectan. - Los signos de multiplicar unen más que los de sumar y restar, es decir, cuando dos números están unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable, mientras que si los une un signo de sumar o restar están más sueltos. - Debemos conocer las propiedades de las operaciones para no hacer algo que sea incorrecto. - Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar. - Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición. - Por eso, antes de comenzar a resolver operaciones combinadas debemos observar la expresión y plantearnos una estrategia a seguir,lo que vamos a hacer antes y después. - Como norma general es aconsejable comenzar resolviendo lo del interior de paréntesis, seguir luego con las multiplicaciones y terminar realizando las sumas que queden. Para resolver las operaciones combinadas correctamente hay que seguir los siguientes pasos: PASO 1: Realizar las operaciones que estén dentro de los paréntesis. PASO 2. Realizar las multiplicaciones y divisiones que aparezcan. PASO 3. Realizar las sumas y las restas que aparezcan.

Teorema de Pitágoras 

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes  y , y la medida de la hipotenusa es , se formula que:

De la ecuación (1) se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

 Pensamiento  DE Pitágoras  

El Teorema de Pitágoras puede haberse conocido mucho antes del nacimiento de Pitágoras, pero fue comprobado en el siglo VI a.C. por el matemático Pitágoras.

Respecto de los babilonios hay esta nota:

Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto  se conocían ternas de valores que se corresponden con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin
 embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.³ La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXV I a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices	${\displaystyle {\text{A}}}$	${\displaystyle {\text{B}}}$	${\displaystyle {\text{C}}}$
Lados (como segmento)	${\displaystyle {\text{BC}}}$	${\displaystyle {\text{AC}}}$	${\displaystyle {\text{AB}}}$
Lados (como longitud)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
Ángulos	${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}}}$	${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}}$	${\displaystyle {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}}$

Demostraciones:

El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythogorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Problema 1

• Los lados son. ...
• Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. ...
• Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto). ...
• Para poder calcular la altura del triángulo, a, tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras)

Problemas Resueltos del Teorema de Pitágoras:

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

     Los lados son

$$a=3cm,b=4cm$$    Aplicando el teorema de Pitágoras,

   

Por tanto, la hipotenusa mide 5 cm.


2. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1 cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Llamamos a los lados a y b y a la hipotenusa h. Sabemos que
$$h=2,a=1$$Por Pitágoras, sabemos que
$$h^2=a^2+b^2$$Sustituyendo los valores conocidos tenemos que

Ahora despejamos b en la ecuación

Hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que, en teoría, debemos hacer. Pero como b representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo.
Por tanto, el cateto mide



Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla.

3 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden  y .

Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto).

Sabemos que

Por el teorema de Pitágoras, sabemos que

Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:

Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,

Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.

Matemáticas

¿Que son las Matemáticas?

Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación del conocimiento matemático a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.

 Ciencia que estudia las propiedades de los números y las relaciones que se establecen entre ellos.
Las matemáticas o la matemática (del latín mathematĭca, y este del griego μαθηματικά, derivado de μάθημα, ‘conocimiento’) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas como números, figuras geométricas o símbolos.
La matemática en realidad es un conjunto de lenguajes formales que pueden ser usados como herramienta para plantear problemas de manera no ambigua en contextos específicos. Por ejemplo, el siguiente enunciado podemos decirlo de dos formas: X es mayor que Y e Y es mayor que Z; o forma simplificada podemos decir que X > Y > Z. Este es el motivo por el cual las matemáticas son tan solo un lenguaje simplificado con una herramienta para cada problema específico.

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico.

Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Pensamiento de  Eugene Paúl Wigner

La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es algo que roza lo misterioso, y no hay explicación para ello. No es en absoluto natural que existan “leyes de la naturaleza”, y mucho menos que el hombre sea capaz de descubrirlas. El milagro de lo apropiado que resulta el lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no comprendemos ni nos merecemos.

¿Quien invento las Matemáticas?

Las matemáticas es una ciencia muy polémica, no se sabe realmente su origen y de hecho ha llegado a pensarse que es más antigua que la misma escritura, el comercio y los cálculos han sido parte de la historia humanas y por ende los números. Las matemáticas buscan patrones, puntos  y relaciones, así como para realizar relaciones cuantitativas, geométricas y variables.

Desde la prehistoria se cree que las mujeres habían desarrollado un sistema de conteo de la menstruación y los hombres por su parte habían ideado un sistema para contabilizar los animales de las manadas a la hora de la caza, luego más adelante en la historia comienza la aparición de figuras geométricas en las edificaciones de templos y sitios de adoración así como los cálculos precisos para la construcción de los mismos. Para el V milenio a.C, ya se mostraban inicios de sistemas decimales en la India, mientras que en China las primeras matemáticas son del periodo de las Dinastía Shang unos 1600 a.C, y son básicamente números marcados en la caparazón de tortugas.

En la Antigua Grecia se le atribuye la primera escuela de matemáticas a Pitágoras, sin embargo algunos historiadores aseguran que estas matemáticas tienen mucha influencia de los sistemas egipcios. Para la edad media el mundo de las matemáticas ya era de amplio uso en Europa, el álgebra el uso de razones y números imaginables ya era de uso frecuente entre algunos estudiosos y comerciantes.

Algunas definiciones de las Matemáticas

Establecer definiciones claras y precisas es el fundamento de la matemática, pero definirla ha sido difícil, se muestran algunas definiciones de pensadores famosos:

• rene descartes: "La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles".
• David Hilbert:. “En un cierto sentido, el análisis matemático es una sinfonía del infinito. La matemática es el sistema de las fórmulas demostrables”.
• Benjamin Peirce:. “La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.”
• Bertrand Russell:. “Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.”
• Ibo Bonilla: . "Hacer matemática es desentrañar los ritmos del Universo". "La matemática es la ciencia de estructurar una realidad estudiada, es el conjunto de sus elementos, proporciones, relaciones y patrones de evolución en condiciones ideales para un ámbito delimitado".
• John David Barrow: . “En el fondo, matemática es el nombre que le damos a la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de números, en tanto que otras son relaciones más abstractas entre estructuras. La esencia de la matemática está en la relación entre cantidades y cualidades”.

Simbologia Matemática:

ÁNGULO   .....................................   ∢ANGULO RECTO ............................   ∡ APROXIMADAMENTE IGUAL ..........   ≐, ≈ ARCO DE A a B ...............................  A⁀B CARDINAL EL CONJUNTO X, Y......   |{ X, Y}| CÍRCULO  .......................................  ⊙                CONGRUENTE CON ..........................  ≌ CONJUNTO A .................................   A   CONJUNTO TOMADO POR LOS ELEMENTOS: a, b y c..........................  A = {a, b, c}   CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS .......................................   Z   CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ...................................   N CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ................................   Q   CONJUNCIÓN ...........................................    L CONJUNTO VACÍO ........................   { },  Ø CUADRADO ..................................   □ DEFINIDO IGUAL ...........................   :  =  DISTINTO, NO IGUAL ....................    ≠ DIVIDIDO ENTRE ..........................    : ES ELEMENTO DE ........................    є   ES SUBCONJUNTO DE .................   ⊂ EQUIVALENCIA ..........................    ↔  FUNCIÓN f  ............................................      f IDENTIFICACIÓN IGUAL ...................    ≡ IGUAL ......................................................    = IMPLICACIÓN ......................................    ⇒ INFINITO ...............................................     ∞ INTERSECTADO .........................   ∩ La importancia de las Matemáticas para tu vida  Las matemáticas configuran actitudes y valores en los alumnos pues garantizan una solidez en sus fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados obtenidos. Todo esto crea en los niños una disposición consciente y favorable para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que se enfrentan cada día.

MÁS ..........................................   + MÁS O MENOS ...................................     ± MAYOR QUE  .......................................     > MAYOR IGUAL QUE ..........................     ≥ MEDIDA DE SEGMENTO AB ........   | AB |   MENOR QUE  ........................................    <   MENOR IGUAL QUE ...........................    ≤ MENOS ..................................................     - MUY GRANDE RESPECTO A ..........     >>   MUY PEQUEÑO RESPECTO A .......     << NO .........................................................    ┒ NO ES ELEMENTO DE .....................    ∉ NO ES SUBCONJUNTO DE ............    ⊄ NO ES CIERTA LA PROPOSICIÓN .. ∼p O (LA DISYUNCIÓN) ............................   V PAR ORDENADO a, b ...........................    (a, b) PARALELA .............................................     ∥ PI ..............................................................      p POR  .......................................................        Ï POR CIENTO  ......................................         % POR TANTO, POR CONSIGUIENTE ..     \ PRODUCTO CARTESIANO DE LOS  ELEMENTOS M, N ...................................      MÏN RAYA DE FRACCIÓN ............................       / , ¾ RECTA r  ..................................................        r RECTA QUE PASA POR LOS  PUNTO  A, B ............................................        AB SE CORRESPONDE CON ....................          ≙ SEGMENTO ENTRE LOS PUNTOS A, B ..  AB TAL QUE ..................................................         / TRIANGULO  ........................................            ∆  UNIDO CON  .........................................            ∪

Frases acerca de las matemáticas   1-No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son aún mayores.-Albert Einstein. 2-Las matemáticas puras son, en su forma, la poesía de las ideas lógicas.-Albert Einstein. 3-La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples.-S. Gudder. 4-Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real.-Marcus du Sautoy. 5-Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí.-Marcus du Sautoy. 6-Si la gente no cree que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuente de lo complicado que es la vida.-John Louis von Neumann. 7-Dios usó las hermosas matemáticas al crear el mundo.-Paul Dirac. 8-Sin matemáticas, no hay nada que puedas hacer. Todo a tu alrededor es matemáticas. Todo a tu alrededor son números.-Shakuntala Devi. 9-Las matemáticas son la música de la razón.-James Joseph Sylvester. 10-Las matemáticas son la creación más poderosa y bella del espíritu humano.-Stefan Banach.         5 Formas de resolver un problema  Define el problema. Desarrolla un plan. Lleva a cabo el plan. Evalúa los resultados. Hasta que no hay una respuesta aceptable, debes repetir del paso 2 al 4, hasta que hayas encontrado la respuesta.